行列式の特徴づけと公式 - 週末デッドエンド

行列式の特徴づけ

n次行列の行列式はn²変数の多項式で、行・列に関して線形かつ交代的。

逆に、線形かつ交代的なn²変数の多項式がn次行列(の定数倍)になることを示す。

証明

$\textbf{e} _{ij}$ は自然基底とする。 n²変数の多項式 $F(x_{11}, x_{12}, ..., x_{ij}, ..., x_{nn})$ を、n次元ベクトル $\textbf{x}_j = (x_{1j}, ..., x_{nj})^{\top}$ の関数とみなせば、

線形性から、

$\begin{aligned} F\left( \textbf{x}_1 + ... + \textbf{x}_n \right) &= F \left( \sum_{i_1 = 1}^n x_{ {i_1} 1 } \textbf{e}_{i_1}, ..., \sum_{i_n = 1}^n x_{ {i_n} n } \textbf{e}_{i_n}\right) \\ &= \sum_{i_1 = 1}^n ... \sum_{i_n = 1}^n x_{ {i_1} 1} ... x_{ {i_n} n } F \left( \textbf{e}_{i_1}, ..., \textbf{e}_{i_n} \right). \end{aligned} \tag{1}$

交代性から、 $\textbf{e}_{i_1}, ..., \textbf{e}_{i_n}$ の中に等しいものがあれば

$F \left( \textbf{e}_{i_1}, ..., \textbf{e}_{i_n} \right) = 0.$

したがって、(1)の和は $i_1, ..., i_n$ がすべて異なるような組、つまり $1, ..., n$ の順列にわたる和であるとしてよい。

$\sigma$ を $1, ..., n$ の置換、 $\epsilon (\sigma)$ を置換の符号、 $S_n$ を $n$ 個の置換全体の集合だとすると、交代性から

$\begin{aligned} F \left( \textbf{e}_{i_1}, ..., \textbf{e}_{i_n} \right) = \epsilon (\sigma) F \left( \textbf{e}_{1}, ..., \textbf{e}_{n} \right). \end{aligned}$

よって、 $F \left( \textbf{e}_{1}, ..., \textbf{e}_{n} \right) = c$ 、 $\sigma (k) = i_k$ とすれば、(1)は

$\begin{aligned} F\left( \textbf{x}_1 + ... + \textbf{x}_n \right) &= c \sum_{\sigma \in S} \epsilon (\sigma) x_{\sigma(1)1} ... x_{\sigma(n)n} \\ &= c \det (x_{ij} ). \end{aligned}$

よって、線形かつ交代的なn²変数多項式は行列式の定数倍になる。ここで、 $c = F(..., \delta_{ij},... )$ ( $\delta_{ij}$ はKronecker delta )。

応用した公式

$n = n_1 + n_2$ として、 $A$ を $n$ 次行列とする。そして、 $A$ を小行列に分割して

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix}$

と表す。 $A_{ij}$ は $n_i \times n_j$ 次行列であり、 $O$ は $n_2 \times n_1$ 次の零行列 ( i と j は 1 または 2 )。この行列の行列式は

$\left| A \right|= \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{vmatrix} = \left| A_{11} \right| \left| A_{22} \right|$

とかける。これを示そう。

この行列式を $A_{22}$ の元についての多項式だと考えると、この多項式は $A_{22}$ の行に関して線形かつ交代的だから、さきほど示したことから

$\left| A \right|= \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} A_{22} \end{vmatrix} .$

ここで $c$ は、行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ において、 $A_{22}$ を $n_2$ 次単位行列 $I_{n_2}$ に置き換えたものだから、

$\begin{aligned} c &= \left| A \right|= \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & I_{n_2} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon (\sigma) x_{\sigma(1)1} ... x_{\sigma(n_1)n_1} \delta_{\sigma(n_1 + 1) n_1 + 1} ... \delta_{\sigma(n_1 + n_2) n_1 + n_2} \\ &= \sum_{\sigma \in S_{n_1}} \epsilon (\sigma) x_{\sigma(1)1} ... x_{\sigma(n_1)n_1} \\ &= \begin{vmatrix} A_{11} \end{vmatrix} \end{aligned}$

となる。したがって

$\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{22} \end{vmatrix}.$

注意

二次正方行列の行列式の公式に似ているが、

$\begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{22} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} A_{12} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{21} \end{vmatrix}$

などは成り立たないので注意しよう。 $A_{21} = O$ のときに限った公式である。