2021-05-19 Wed - 週末デッドエンド

勉強

Real and Complex Analysis (–pp.30; 1.38 Theorem)

Rudin's RCAを読んでいた。

ルベーグ積分可能なら級数と積分が交換可能であることを示す定理の証明で $\mu(E^c) = 0$ に少し悩んだので書いておく。

$\varphi \colon S \to [0, \infty$ ] が $S ( \subset X)$ 上の非負可測関数であり、 $E = \{ x \in S \mid \varphi (x) \lt \infty \}$ とすると、 $E^c = \{ x \in S \mid \varphi (x) = \infty \}$ である。このとき、

$\begin{align} \int_S \varphi d\mu < \infty \end{align}$

だとする。

$E^c$ 上では $\varphi(x) = \infty =$ 定数だということに注意すると、単関数のルベーグ積分の定義から、

$\displaystyle{ \begin{align} \int_{E^c} \varphi d\mu = \infty \int_{E^c} d\mu = \infty \times \mu(E^c). \end{align} }$

また、ルベーグ積分の性質から、指示関数を $\chi_{E^c}$ の記号を使って書くと、

$\displaystyle{ \begin{align} \int_{E^c} \varphi d\mu = \int_S \varphi \chi_{E^c} d\mu \leq \int_S \varphi d\mu \lt \infty. \end{align} }$

したがって、 $\infty \times \mu(E^c) \lt \infty$ となるが、そのためには $\mu(E^c) = 0$ でなくてはならない。

日記

断酒8日目。現人神。

甥っ子が熱出したので一日面倒見た。