週末デッドエンド

勉強と日記と怪文書

2021-05-21 Fri

Real and Complex Analysis 日記数学

勉強

Real and Complex Analysis (–pp.38; 2.10 Theorem)

ch.2 Positive Borel Measures に突入。最初の方は簡単なトポロジー。ウリゾーンの補題の直前まで読んだ。すぐ理解できなかったことについて書く。

定理

$X$ を位相空間とする。 $p \in A$ の近傍 ( $p$ を含む $A$ の開部分集合 ) を $N_p$ と書く。

$A \subset X$ が開集合 $\Leftrightarrow$ $A = \bigcup_{p \in A} N_p$ 。

証明

$( \Rightarrow )$ $A$ 自身が $p \in A$ の近傍だから、 $A \subset \bigcup_{p \in A} N_p$ 。また、定義から $N_p \subset A$ だから、 $\bigcup_{p \in A} N_p \subset A$ 。

$( \Leftarrow )$ $A = \bigcup_{p \in A} N_p$ のとき、 $A$ が開集合 $N_p$ の合併だから、位相空間の公理から $A$ は開集合。

2.5 Theorem Corollary (a)

ハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ は閉集合。

証明

2.5 Theorem より、 $K^c$ の任意の点 $p \in K^c$ に対して開近傍 $U_p \subset K^c$ がとれるので、 $\bigcup_{p\in K^c } U_p = K^c$ は開集合。

2.10 Theorem Corollary

$X$ 上の複素数値関数 $f$ の台とは、 $\{ x \in X \mid f(x) \neq 0 \}$ の閉包のこと。台がコンパクトである複素数値連続関数の全体を $C_c(X)$ と書く。

連続関数によるコンパクト集合の値域はコンパクトである ( 2.10 Theorem ) 。

このとき、任意の $f \in C_c (X)$ の値域は複素平面上のコンパクト集合である。

証明

$X$ がコンパクトなら $f(X)$ もコンパクトである ( 2.10 Theorem ) 。

$K$ を $f \in C_c (X)$ の台とすると、 $f(X) \subset f(K) \cup \{ 0 \}$ 。

$X$ がコンパクトでないとき、 $0 \in f(X)$ である ( $0 \notin f(X)$ とすると、 $X = \{ x \in X \mid f(x) \neq 0 \}$ なので、両辺の閉包を取れば $X = K$ 。つまり $X$ がコンパクトになり仮定に反する )。よって、 $f(K) \cup \{ 0 \} \subset f(X) \cup \{ 0 \} = f(X)$ 。

したがって $f(X) = f(K) \cup \{ 0 \}$ 。 $f(X)$ はコンパクト集合の合併になるのでコンパクト。

日記

断酒10日目。

Big Rudinを気の向くままに読み進めた。StackExchangeに何でも書いてあるので大いに参考にした。

他人に読まれる前提をせずウェブ上に日記を書いているのだが、他人が読まなくとも自分が後で読み返すことを想定すると、日記に題名をつけておく必要がありそう。だが、何もない日常に無理やりタイトルをつけるの難しい。