週末デッドエンド

勉強と日記と怪文書

2021-05-24 Mon 行列式の余因子展開と微分

線形代数 日記 行列

勉強

行列式のお勉強をした。

余因子展開 - Wikipedia がわかりやすい。

行列式の展開

n 次行列 A = (a_{ij}) を考えよう。

A から i 行と j 列を省いた行列の行列式に (-1)^{i + j} を乗じたものを \tilde{a}_{ij} とする。また、除外した成分を \breve{a}_{ij} のように書く。

行列式は列に関して線形かつ交代的なので、j 列についての線形和を考えると、

\begin{aligned} \det (a_{ij}) &= \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{i = 1}^n a_{ij} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{i = 1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{(i-1) + (j-1)} \begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & \breve{0} & \cdots & 0 \\ 0 & a_{11} & \cdots & \breve{a}_{1, j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \breve{0} & \breve{a}_{i1} & \cdots & \breve{a}_{ij} & \cdots & \breve{a}_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n1} & \cdots & \breve{a}_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{i = 1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \breve{a}_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \breve{a}_{i1} & \cdots & \breve{a}_{ij} & \cdots & \breve{a}_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \breve{a}_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \sum_{i=1}^n a_{ij} \tilde{a}_{ij}。 \end{aligned}

i 行に関する展開も同じようにできる。

このような行列式の表し方を余因子展開という。

行列式の微分

n 次行列 A (x) = ( a_{ ij } ( x ) ) が x の関数で、各成分が微分可能なとき、行列式 \begin{vmatrix} A(x) \end{vmatrix} も微分可能。

n 個の置換を S_n 、 \epsilon (\sigma) を置換の符号とすると、

\begin{aligned} \begin{vmatrix} A(x) \end{vmatrix} = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon ( \sigma ) a_{1 \sigma(1)} ( x ) ... a_{n \sigma(n)} ( x ) \end{aligned}

は積の微分法を考えれば微分可能。

行列式を余因子展開を考慮して計算すると、

\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \begin{vmatrix} A(x) \end{vmatrix} &= \sum_{k=1}^n \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon ( \sigma ) a_{1 \sigma(1)} ( x ) ... a_{k\sigma(k)}' ... a_{n \sigma(n)} ( x ) \\ &= \sum_{i=1}^n \begin{vmatrix} a_{11}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1}'(x) & \cdots & a_{in}'(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(x) & \cdots & a_{nn}(x) \end{vmatrix} \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \tilde{a}_{ij} a_{ij}' (x)。 \end{aligned}

日記

出来事

断酒13日目。酒に関する何かを見ると、たまに飲酒したくなるけど、すぐに欲が失せる。1ヶ月は続けたい。

今日はずっとクロノ・トリガーの時の回廊を聴いていた。

www.youtube.com

Twitterのトンデモ系のツイートを見ていたら時間が溶けた。

感想

いろいろあってWordpressで簡単なサイトを作らないといけないのだが、自分のものでもないし報酬も期限も決まってないのでどうにもやる気が出ない。打ち合わせがざっくりしすぎていたか。

塾では、週1で授業してる英語が苦手な高校生に、どうやって英語を教えていいか悩んでいた。結局、学校のテストはテスト前にどうにかなるので、普段は英語の発音など基礎的なことからからじっくり教えることに決めた。

最近は勉強ばっかりして入力しかしてないので、何か出力したい。