単関数の収束定理 - 週末デッドエンド

どんな非負可測関数でも、その関数に収束するように単調増加な非負単関数列がとれる。

定理の主張

$X$ : 位相空間、 $f \colon X \to [0,\infty]$ が可測関数とする。このとき、 $f$ に各点収束してくれる $X$ 上の単調増加な非負可測単関数列 $s_n$ が存在する：

$\begin{align} &0 \leq s_1 \leq s_2 \leq ... \leq f \tag{a} \\ &s_n(x) \to f(x) \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ for every } x \in X. \tag{b} \end{align}$

具体的に構成して証明

実数 $t$ に対して、 $\dfrac{k}{2^{n}} \leq t \lt \dfrac{k + 1}{2^{n}}$ を満たす $k$ が存在するので、 $k = k_n(t)$ とする。

$\begin{align} \phi_n(t) = \begin{cases} \dfrac{k_n(t)}{2^n} & \quad \text{if } 0 \leq t < n \\ n & \quad \text{if } n \leq t \leq \infty \end{cases} \end{align}$

このとき任意の $\phi_n$ が $[ 0, \infty$ ] 上ボレル関数で、

$\begin{gather} t - \dfrac{1}{2^{n}} < \phi_n(t) \leq t \quad \text{if } 0 \leq t \leq n, \\ 0 \leq \phi_1 \leq \phi_2 \leq ... \leq t, \\ \phi_n(t) \to t \text{ as } n \to \infty \text{ for every } t \in [0, \infty]. \end{gather}$