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2021-05-30 Sun. 完全加法族は無限集合なら非可算集合。

Real and Complex Analysis 関数解析 数学

勉強

Real and Complex Analysis ( p.31; Exercises )

頭を使いたいので演習問題をやってみる。だけど難しすぎて頭すら使えない。悲しい。

神が残した解答があった。

http://www.math.iisc.ernet.in/~rakesh13/Rudin%20Real%20Complex%20Solutions.pdf

こういうのもあった。

Amazon | A Complete Solution Guide to Real and Complex Analysis I (English Edition) [Kindle edition] by Yu, Kit-Wing | Mathematical Analysis | Kindleストア

Exercise 1

\sigma-代数が可算無限集合になることはあるか？

答え: No.

\sigma-代数は、つまり冪集合の部分集合をとっていることになるので、非可算無限になりそう。背理法でそれを示す。

X を集合、 \mathfrak{M} をその可算な \sigma-代数とする。

x \in X に対して集合 \displaystyle{B_x := \bigcap_{ x\in M \in \mathfrak{M}} M} と定める ( つまり、 x が属する可測集合の交叉 )。 \mathfrak{M} は可算集合なので、 B_x は \mathfrak{M} の元の可算無限交叉である。したがって、 B_x \in \mathfrak{M} 。

\mathfrak{N} = \{ B_x \mid x \in X \} とすると、 \mathfrak{N} \subseteq \mathfrak{M} 。 B_x, B_y \in \mathfrak{N} で B_x \neq B_y のとき、 B_x \cap B_y = \emptyset だと対偶法で示そう。つまり、 B_x \cap B_y \neq \emptyset だとすると、ある z \in B_x \cap B_y が存在する。この z に対して B_z = B_x ( = B_y ) を示す。

M を可測集合とする。 z \in B_x だから、 x が属するすべての可測集合に z が属する。つまり x \in M \implies z \in M 。逆に、 z \in M のとき、 x \notin M とすると、 x \in B_x \setminus M 。よって先に示したことから、 z \in B_x \setminus M となるが、これは z \in M に矛盾。よって z \in M \implies x \in M 。

以上のことから、 x \in M \iff z \in M だから、 B_x = B_z 。同じく B_y = B_z 。

したがって、 \mathfrak{N} は X の非交叉部分集合の族。

B \in \mathfrak{M} だとすると、任意の x \in B に対応する B_x \in \mathfrak{N} があるので、 B \subseteq \bigcup_{x \in B} B_x 。

よって、 \# \mathfrak{N} = N ( \in \mathbb{N} ) だとすると、 \# 2^{\mathfrak{N}} = 2^N 。これだと \# \mathfrak{M} が高々 2^N ( 有限 ) ということになり矛盾。よって \mathfrak{N} は無限集合。

\mathfrak{N} \subseteq \mathfrak{M} で \mathfrak{M} は可算集合となるが、可算集合の無限部分集合は可算だから、 \mathfrak{N} も可算集合。ここで可測性から、 2^{\mathfrak{N}} \subseteq \mathfrak{M} だが、可算無限集合の冪集合は非可算だから \mathfrak{M} が非可算ということになる。これは矛盾。

したがって、 \sigma-代数が無限集合なら非可算集合になる。

日記

断酒19日目。体調がグッド。

数学書の演習問題って難しいと思う。有志による解答があるだけまだありがたい。